for 与 while 循环¶

为什么需要循环？¶

计算 \(1+2+3+\cdots+100\)，总不能写 100 遍 +。凡是「重复做类似的事」，就该交给循环——让电脑干它最擅长的体力活。

for：最常用的循环¶

for (初始化; 条件; 更新) {
    // 循环体：重复执行的代码
}

for 循环流程图

三要素对应流程图里的三个框：先初始化 → 判断条件 → 成立就执行循环体 → 更新 → 再判断……直到条件不成立。

用它算 \(1+2+\cdots+100\)：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int sum = 0;              // 累加器，先清零
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        sum += i;             // 每轮把 i 加进 sum
    }
    cout << sum << endl;      // 5050
    return 0;
}

变量 i 叫循环变量，它像计数员：第 1 轮是 1，第 2 轮是 2……第 100 轮是 100，然后 i 变成 101，条件 i <= 100 不成立，循环结束。

while：先看条件再说¶

while (条件) {
    // 循环体
}

while 只管条件，更新藏在循环体里。同样的求和用 while 写：

int sum = 0, i = 1;
while (i <= 100) {
    sum += i;
    i++;                  // 千万别忘了更新，否则死循环！
}

选择建议：知道循环几次，用 for；只知道「满足条件就继续」，用 while。

死循环

条件永远成立（或忘了更新循环变量）时，程序会永远转下去，评测机上就是 超时 0 分。本地运行发现程序「卡住不输出」，先想想是不是死循环。

经典套路一：数位拆分¶

读入一个整数，求它各位数字之和。用上一章学的 % 10 和 / 10，配合循环：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, sum = 0;
    cin >> n;
    while (n > 0) {
        sum += n % 10;   // 取出个位，累加
        n /= 10;         // 砍掉个位
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

以 n = 123 为例走一遍：sum += 3, n 变 12 → sum += 2, n 变 1 → sum += 1, n 变 0 → 循环结束，sum = 6。

「%10 取个位、/10 砍个位」是处理数位问题的万能钥匙，CSP 每年都考。

经典套路二：找最大值¶

读入 n 个数，输出最大值。「擂台赛」思路：先让第一个数当擂主，后面每个数来挑战，赢的留下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, x, mx;
    cin >> n;
    cin >> x;
    mx = x;                    // 第一个数当擂主
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        cin >> x;
        if (x > mx) mx = x;    // 挑战者更大，换擂主
    }
    cout << mx << endl;
    return 0;
}

break 与 continue：循环的刹车和跳过¶

break; —— 立刻终止整个循环
continue; —— 跳过本轮剩下的语句，直接进入下一轮

for (int i = 1; i <= 10; i++) {
    if (i == 5) continue;   // i=5 时跳过下面一句
    if (i == 8) break;      // i=8 时整个循环结束
    cout << i << " ";
}
// 输出：1 2 3 4 6 7

经典应用——辗转相除法求最大公约数（笔试常客，先记模板，第 9 章详细讲）：

int a = 12, b = 18;
while (b != 0) {
    int t = a % b;
    a = b;
    b = t;
}
// 循环结束后 a 就是最大公约数：6

循环嵌套：双重 for¶

循环里面再套循环。打印 \(n \times n\) 的星号方阵：

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {      // 控制「行」
    for (int j = 1; j <= n; j++) {  // 控制「列」
        cout << "* ";
    }
    cout << endl;                   // 每行结束换行
}

外层走一步，内层走完一圈。九九乘法表只需把内层条件改成 j <= i。

性能意识（提前建立）

双重循环是 \(n \times n\) 次运算。竞赛里 \(n\) 达到 \(10^4\) 级别时双重循环就是 \(10^8\) 次——开始接近时间上限。先估算运算量再动手，这个习惯从现在养起。

例题 1：阶乘¶

题目描述　读入 \(n\)，输出 \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n\)。

输入格式　一个非负整数 \(n\)（\(0! = 1\)）。

输出格式　一个整数，即 \(n!\)。

数据范围　\(0 \le n \le 20\)。

样例输入 / 样例输出
5
120

思路分析　「累乘」和「累加」只差一个运算符：累加器从 0 开始 sum += i，累乘器从 1 开始 res *= i——从 0 乘就全毁了。另外 \(20! \approx 2.4 \times 10^{18}\)，必须用 long long。

参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    long long res = 1;          // 累乘器从 1 开始
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        res *= i;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

试试 \(n = 21\)：结果是负数——溢出了。这就是为什么题目把 \(n\) 限制在 20。

例题 2：最大公约数¶

题目描述　读入两个正整数 \(a\)、\(b\)，输出它们的最大公约数。

输入格式　一行两个整数 \(a\)、\(b\)。

输出格式　一个整数，即 \(a\) 与 \(b\) 的最大公约数。

数据范围　\(1 \le a, b \le 10^9\)。

样例输入 / 样例输出
12 18
6

思路分析　用辗转相除法（欧几里得算法）：\(a\) 和 \(b\) 的最大公约数，等于 \(b\) 和 \(a \% b\) 的最大公约数。比如

\[\gcd(12, 18) = \gcd(18, 12) = \gcd(12, 6) = \gcd(6, 0) = 6\]

余数为 0 时，除数就是答案。所以「不停地用余数替换，直到余数为 0」——一个标准 while 循环。

参考代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long a, b;
    cin >> a >> b;
    while (b != 0) {
        long long t = a % b;   // 先算出余数
        a = b;                 // 除数变成新的被除数
        b = t;                 // 余数变成新的除数
    }
    cout << a << endl;
    return 0;
}

这个模板请直接背下来，第 9 章「竞赛数学」还会再见到它。

动手试一试¶

用循环输出 1~100 中所有 3 的倍数，每行 5 个（提示：计数换行）
读入 \(n\)，求 \(n!\)（阶乘：\(1 \times 2 \times \cdots \times n\)），试试 \(n=20\) 会发生什么（回扣 long long 溢出）
读入一个整数，把它倒序输出（如 123 → 321）
打印九九乘法表，注意用 \t 对齐
挑战：读入 \(n\) 个学生的成绩，输出平均分和最高分

下一课，我们一次存放一大排数据：一维数组与桶计数。